Breve Introdução às Derivadas e Integrais
● Cálculo infinitesimal: lida com variações muito pequenas de funções. Dividido em duas partes: derivadas das funções matemáticas e integrais das funções matemáticas.Para entendermos os vários efeitos que acontecem na física normalmente precisamos associar as grandezas. É comum associarmos o tempo com o espaço, calor com o aquecimento e assim por diante. As entidades matemáticas que permitem fazer essas associações são as funções. E portanto, o estudo das funções a sua álgebra, como podemos processá-las matematicamente é extremamente importante para que possamos lidar com inúmeros efeitos físicos que vão ser estudados ao longo desse curso. Somar funções, subtraí-las, dividí-las, são operações comumente utilizadas para se resolver problemas em física. Não é incomum, lidarmos com efeitos onde temos que tratar de variações muito pequenas de funções matemáticas. Essas variações são tão pequenas que são infinitesimais, comparadas as outras grandezas. O problema de saber lidar matemáticamente com variações muito pequenas de funções matemáticas, já foi enfrentado por outros cientistas em outras épocas. Newton, cientista inglês que viveu muitos séculos atrás, tinha problema parecido. Para calcular certos efeitos, principalmente relacionados com interação entre corpos massivos, como é o caso de planetas e assim por diante, Newton tinha que lidar com cálculos de quantidades muito pequenas. Leibz, cientista alemão, matemático, lidou com o problema das variações muito pequenas das funções. Esse estudo, de lidar com variações muito pequenas de funções, gerou toda uma parte do cálculo que é chamada de cálculo infinitesimal. Esse cálculo é basicamente dividido em duas partes: a chamada de derivadas das funções matemáticas e as chamadas integrais das funções matemáticas. Para que possamos ter o mínimo de ferramental matemático, para lidar com os problemas físicos que enfretaremos nesse curso, é necessário fazermos uma breve introdução ao cálculo das derivadas e integrais. Evidentemente, não pretendemos aqui dar um curso de derivadas e integrais e nem seria o lugar apropriado, a importância do cálculo diferencial e integral, que envolve as derivadas e integrais será abordado de forma mais completa nos cálculos do ciclo básico, nos cursos universitários. Vamos começar essa breve introdução, pelas derivadas. Para isso vamos começar considerando as funções matemáticas.
Como vocês sabem as funções matemáticas, elas associam determinados valores de uma grandeza, com o valor de outra grandeza. Vamos coniderar uma função matemática qualquer, que aqui está sendo denominada de f e de x, e vamos tentar entender qual é o comportamento dessa função matemática. Com o comportamento da função matemática nós queremos entender, na proximidade de um ponto escolhido, como essa função se comporta: se ela cresce, se ela decresce ou se ela é praticamente estacionária
ao redor desse ponto. Para fazer isso normalmente nós começamos com um ponto escolhido e fazemos uma variação ao redor desse ponto.
Então vamos ver o que acontece com a função f de x quando pulamos de zero para um outro valor genérico, que eu vou chamar de x.